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Nagel'scher Punkt / Nagel-Punkt

Der Nagelsche Punkt ist ein besonderer Punkt der in jedem Dreieck gefunden werden kann und zusammen mit dem Inkreismittelpunkt und dem Schwerpunkt auf einer Gerade liegt. Benannt wurde er nach dem deutschen Mathematiker Christian Heinrich von Nagel (1803 - 1882). Gefunden wird der Punkt wie folgt:

  1. Zuerst werden Geraden (schwarze Linien) durch die Punkte A, B und C gelegt und anschließend die Winkelsymetralen (rote Linien) der zusammenfallenden Geraden berechnet.
  2. Danach werden die drei Winkelsymetralen geschnitten wodurch die drei Mittelpunkte der Ankreise des Dreiecks gefunden werden.
  3. Nun werden Geraden normal zu den Seiten durch den jeweiligen Mittelpunkt des Kreises gelegt (siehe Abbildung). Man erhält drei Schnittpunkte (J, K und L).
  4. Abschließend werden die Schnittpunkte mit den gegenüberliegenden Ecken verbunden (grüne Linien). Der gemeinsame Schnittpunkt dieser Strecken ist der Nagel’sche Punkt.

Integration

Es gibt zwei Arten der mathematischen Integration. Die erste Art, das unbestimmte Integrieren ist die Umkehrung der Differentialrechnung. Die zweite Art, das bestimmte Integrieren wendet man dann an, wenn man den Flächeninhalt einer Funktion zwischen den Achsen oder zwischen einer andere Funktion berechnen möchte.

Das unbestimmte Integrieren
Angenommen, wir kennen eine Funktion, die bereits differenziert wurde. Die erste Ableitung dieser Funktion heißt z.B. x²+4x. Nun können wir, indem wir die Weg des Differenzierens rückwärts gehen, die Stammfunktion (= die ursprüngliche Funktion) finden:

Das Finden der Stammfunktion läuft wie folgt ab: Die Hochzahl wird für gewöhnlich um 1 addiert und diese Zahl durch dividiert. Als Beispiel: Aus x² wird x³/3. Aus 4x würde 4x²/2 werden, was 2x² entspricht.

In unserem Beispiel wird also aus x²+4x die Stammfunktion x³/3 + 2x². Das Problem dabei ist, dass Zahlen ja zu 0 differenziert werden. In unserem Beispiel wäre also auch x³/3 + 2x² + 2 oder x³/3 + 2x² + 3,14 möglich gewesen. Und da wir die Zahl nicht kennen, schreiben wir als Platzhalter hinter eine integrierte Funktion stets den Buchstaben c.
Das Zeichen der mathematischen Integration sieht wie ein S aus. Es wird immer vor die Funktion gestellt, die zu integrieren ist (siehe Bild, Abbildung 1)

Das bestimmte Integrieren
Werfen wir einen Blick auf die Abbildung 2. Hier sehen wir eine blaue Funktion, die von einem roten Rechteck eingeschlossen wird. Wenn wir uns den Flächeninhalt des roten Rechtecks ausrechnen möchten, können wir so vorgehen: Wir stellen zunächst fest, an welcher Stelle die Funktion den höchsten Punkt hat (=Höhe des Rechtecks). Dies wäre im Punkt C der Fall. Nun berechnen wir die Seitenlänge des Rechtecks, das wäre d-c. Zusammen schaut das ganze so aus: Flächeninhalt des roten Rechtecks = f(c) (=die Funktion an der Stelle c = Die Höhe des Rechtecks) * (d-c). Kurzschreibweise: f(c)(d-c). In Abbildung 3 sehen wir nun ein grünes Rechteck. Wie berechnen wir dessen Flächeninhalt? Der Lösungsweg ist der gleiche, mit dem Unterschied, dass wir diesmal nicht die Höhe des roten Rechtecks, sonder die Höhe des grünen Rechtecks suchen. Und da die Funktion an der Stelle f(d) das Rechteck berührt (=Höhe des grünen Rechtecks) ist dies unser gesuchter Wert. Lösung: f(d)(d-c) = Flächeninhalt des grünen Rechtecks. Nun wissen wir, dass der Flächeninhalt, den die Funktion mit der X-Achse einschließt irgendwo zwischen dem Flächeninhalt des roten und grünen Rechtecks liegt, allerdings ist dies natürlich sehr ungenau. Da sich die Mathematik nur mit genauen Zahlen zufrieden gibt, überlegen wir weiter: Verkürzen wir den Abstand zwischen d und c, bis der Wert sehr klein wird, werden auch die Rechtecke kleiner und passen eher in die Funktion. Wenn der Abstand zwischen c und d unendlich klein wird, können wir mit Hilfe des Grenzwertes (Limes) eine exakte Zahl bestimmen. Dieser Vorgang wird bestimmtes Integrieren genannt.

Beispiel: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Funktion: f(x)=2x+3 im Intervall [0;2]. (Abbildung 4)
Wir gehen wie folgt vor: Zuerst integrieren wir die Funktion, danach setze wir für x jeweils die Zahl 0 und 2 ein. Abschließend ziehen wir den „kleineren“ Flächeninhalt vom „größeren“ ab:

  • Unbestimmtes Integrieren: 2x+3 --- x²+3x
  • Berechnen der „Obersumme“ (für x=2): 2²+3*2 = 10
  • Berechnen der „Untersumme“ (für x=0): 0²+3*0 = 0
  • Subtrahieren: 10 – 0 = 10

    Die Fläche, die die Funktion 2x+3 im Intervall [0;2] mit der X-Achse einschließt lautet also 10.

    Paradoxien
    Berechnen wir den Flächeninhalt der Funktion x³-4x (ohne Intervall, Abbildung 5)
    Dazu müssen wir erst berechnen, an welcher Stelle die Funktion die X-Achse schneidet. Das ist in den Punkten [-2;0], [0;0] und [2;0] der Fall. Nun berechnen wir den Flächeninhalt zwischen -2 und 2.

  • Unbestimmtes Integrieren: x³ - 4x --- x4/4 - 2x²
  • Berechnen der „Obersumme“ (für x=2): 24/4 - 2*2²= -4
  • Berechnen der „Untersumme“ (für x=-2): -24/4 - 2*-2²= 4
  • Subtrahieren: 4 -4 = 0

    Nanu? Der Flächeninhalt beträgt 0? Ist das möglich, in Abbildung 5 sehen wir ja, dass die Funktion eine Fläche einschließt? Das tut sie auch, allerdings befindet sich die Kurve zwischen 0 und 2 unterhalb der X-Achse was zu einem negativen Ergebnis führt. Das kann man aber ganz einfach ausgleichen, indem man die Funktion zum Betrag "erklärt". Das korrekte Ergebnis wäre dann also 8.

    Natürlich ist auch der Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen berechenbar. Würden wir weitergehen, könnten wir auch Funktionen über Achsen rotieren lassen und das Volumen einer dabei entstehenden Figur berechnen. Dieser kleine Exkurs soll aber nur einen Einblick in die Integration bieten, für mehr Informationen sollte ein ausgebildeter Lehrer im persönlichen Gespräch sorgen.

    Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Die wichtigsten Definitionen und Begriffe zur Wahrscheinlichkeit:

    Laplace: Bezeichnung für ein Gerät, das immer die exakt gleiche Chance auf jede Möglichkeit hat (z.B. Würfel)

    Wahrscheinlichkeit ist das Maß für die Erwartung, dass ein zufällig ausgewähltes Ereignis einer bestimmten Teilmenge des Stichprobenraumes angehört

    Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich immer mit Anzahl der Günstigen dividiert durch Anzahl der Möglichen

    Einführung:
    Am einfachsten ist es, sofort mit einem Beispiel zu beginnen da das Prinzip sehr leicht zu verstehe ist. Nehmen wir an, wir haben 5 Glühbirnen in einer Kiste wobei 2 defekt sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei 1x hineingreifen eine defekte Glühbirne ziehe? Wie wir schon oben in den Leitsätzen erfahren haben, berechnen wir die „Günstigen“ (in diesem Fall wollen wir die defekten Glühbirnen berechnen) dividiert durch die „Möglichen“ (möglich wären alle 5), was ganz einfach 2/5 = 0,4 = 40% ergibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich also bei 2 defekten Glühbirnen von 5 eine defekte Birne ziehe, beträgt 40%. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit (wird auch mit „p“ abgekürzt), dass ich eine funktionierende Glühbirne ziehe? Natürlich, der genau umgekehrte Weg: 3/5 = 0,6 = 60%.

    Wenn wir nun praktisch denken, wüsste ich, dass ich mir ziemlich sicher sein kann, beim Ziehen eine funktionierende Birne zu erwischen. Was aber, wenn sie defekt ist und ich noch einmal ziehen muss? Auch bei 2x ziehen lässt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmen. Nehmen wir an, wir haben beim ersten Mal eine defekte Birne gezogen und möchten nun berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit wir auch beim zweiten Mal ziehen eine defekte Glühbirne erwischen. Jetzt tritt die 1. Pfadregel zu tage. Diese besagt, dass Wahrscheinlichkeiten entlang eines Weges multipliziert werden. Nun zur Rechnung:

    Wir ziehen eine Glühbirne, die defekt ist. Die p (Wahrscheinlichkeit) beträgt also 40% (oder anders ausgedrückt 0,4)

    Wenn wir noch einmal ziehen befinden sich natürlich nur noch 1 defekte Birne und insgesamt 4 Glühbirnen in der Schachtel. Die Wahrscheinlichkeit, eine defekte Glühbirne zu ziehen ist also 1/4 = 0,25 = 25%

    Multiplizieren wir jetzt beide Ergebnisse, also 0,25 * 0,4 erhalten wir 0,1 = 10%. Die Wahrscheinlichkeit bei zweimaligem ziehen also alle zwei defekten Glühbirnen zu erwischen, ist denkbar gering.

    Die erste Pfadregel wendet man also an, wenn zwei Ereignisse hintereinander passieren. Könnte ein Ereignis aber auch parallel zum anderen passieren, tritt die 2. Pfadregel in Kraft. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Wege addiert werden. Wieder ein Beispiel:

    In eine Klasse gehen 30 Schüler. Der Lehrer wählt jede Stunde zwei Schüler für die Prüfung aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich dran komme?

    Jetzt gibt es zwei Wege, wie das Baumdiagramm unten zeigt: Ich könnte beim ersten Mal drankommen, dafür bei der zweiten Ziehung nicht, oder ich habe das erste Mal Glück und komme aber beim zweiten Mal dran. Das ich zwei Mal hintereinander in einer Stunde zur Prüfung komme ist unmöglich. Wir haben also:
    1. Weg: 1/30 *29/29 (ich komme beim ersten Mal dran, beim zweiten Mal natürlich nicht) 2. Weg: 29/30 * 1/29 (ich komme zuerst nicht dran, dann schon) Die Ergebnisse beider Wege werden addiert, also 0,03333… + 0,03333… = 0,06666… = 6,6%
    Die Wahrscheinlichkeit, dass ich zur Prüfung drankomme beträgt also 6,6%

    Ein weiteres Beispiel zur Festigung: Eine Firma kauft von 3 verschiedenen Erzeugern Holzplatten. Sie benötigt insgesamt 1200 Stück. Firma A liefert 480 Stück (2% schadhaft), B liefert 420 (1,5% schadhaft) und C liefert den Rest (3% schadhaft).

    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine entdeckte schadhafte Holzplatte von B stammt?

    Dieses Beispiel erfordert folgende Überlegung: Mein Anteil an „Möglichen“ beträgt natürlich nicht 1200 da nur die defekten Holzplatten in Betracht kommen. Mein erster Schritt ist also zu berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine zufällig ausgewählte Platte defekt ist. Hierzu werden die erste und die zweite Pfadregel angewandt:

    Firma A liefert 480 Platten, 2% sind schadhaft: 480/1200 * 0,02
    Firma B liefert 420 Platten, 1,5% sind schadhaft: 420/1200 * 0,015
    Firma C liefert 300 Platten, 3% sind schadhaft: 300/1200 * 0,03

    Addieren wir alle drei Ergebnisse erhalten wir p=0,0207… = ca. 2%
    2% aller Platten sind also schadhaft. Ausgehend von dieser Erkenntnis möchten wir nun wissen, wie viele Platten der Firma B schadhaft sind. Ein Blick nach oben genügt, es sind 0,0052… also 0,5…%

    Die finale Rechnung: p=0,0052…/0,0207… = 0,253… = ca. 25%

    Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gefunden defekte Platte von B stammt beträgt also um die 25%.


    Differentialrechnung, Schwerpunkt auf Kurvendiskussionen

    Zuerst: Was ist eine Funktion?
    Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem x aus der Definitionsmenge, genau ein y aus der Zielmenge zuordnet.

    Nun zum Praktischen. Wir überspringen das Ausrechnen des Differentialquotienten und widmen uns gleich dem händischem Differenzieren.
    Es gibt verschiedene Regeln, die beachtet werden müssen. Grundsätzlich gilt: f(x) = 4, dann ist f '(x) = 0. Eine Zahl wird zu 0 differenziert. f(x) = x, dann ist f '(x) = 1. Differenziert man x³ ist das Ergebnis 3x². Die Hochzahl wird also immer vor den Platzhalter gestellt und die verbleibende Hochzahl wird -1 gerechnet. x²³ wäre 23x²². Weitere Regeln zu erklären würde den Rahmen sprengen. Noch dazu, wenn heute viele Taschenrechner und Computer (im Internet können Sie z.B.: hier differenziere) ohnehin differenzieren können.
    Wenn wir nun eine Kurve haben, z.B.:f(x) = 1/4 * (x³ - 6x² + 9x - 8), können wir diese Kurve mit Hilfe der Differentialrechnung diskutieren. Das heißt, wir berechnen die tiefsten und höchsten Stellen der Kurve, sowie die Punkte, die die X-Achse schneiden. Die so genannten Nullstellen zu berechnen, ist das geringste Problem. Wir wissen, dass bei den Nullstellen X=0 und setzen so f(x)=0. Lösung: x=4,35...
    Mit der ersten Ableitung (f '(x)) können wir die Extremata (Hoch- und Tiefstellen) berechnen. Wir differenzieren f(x) und erhalten f '(x)= 3*(x² -4x + 3)/4. Setzen wir jetzt f '(x)=0, erhalten wir x=3 und x=1. Mit der zweiten Ableitung (f ''(x)) können wir bestimmen, ob es sich um einen Tiefpunkt oder Hochpunkt handelt. f ''(3)= 3/2 und somit ein Tiefpunkt. f ''(1)= -3/2 und somit ein Hochpunkt. Mit f(3) und f(1) berechnen wir uns noch die y-Stelle des Punktes und erhalten den Tiefpunkt T(3|-2) und Hochpunkt H(1|-1).

    Wenn Sie die Funktion z.B.: hier eingeben, können Sie überprüfen, ob sich die Hoch-, Tief-, und Nullpunkte tatsächlich dort befinden, wo wir sie berechnet haben. Es gibt nun auch die Möglichkeit Wendepunkte zu berechnen. Wendepunkte sind Punkte, bei denen sich die Funktion beginnt, in eine andere Richtung zu drehen. Das ist für uns noch unwichtig. Nicht unerwähnt bleiben sollten auch die so genannten Asymptoten. Asymptoten sind Bereiche, die die Funktion nicht erreichen darf. Wenn wir z.B.: die Funktion F(x)=x/(1+x) diskutieren, sehen wir, dass die Funktion bei -1 in die Höhe geht und gleich darauf wieder von oben nach unten fällt. Wäre x nämlich -1 wäre x/(1-1) undefiniert (dividiert durch Null). Die Funktion kann sich zwar nahe an -1 annähern, jedoch nie genau erreichen. Solche verbotenen Bereiche heißen Asymptoten. Sie sind auch als Limes bekannt und können mit dem oben genannten Programm berechnet werden.


    Extremwertaufgaben - Einführung

    Um Extremwertaufgaben zu verstehen, sollte man sich zumindest ein wenig mit Kurvendiskussionen, Maxima und Minima (Extremstellen) beschäftigt haben. Extremwertaufgaben widmen sich nun der Darstellung und Berechnung von möglichst großen oder kleinen Werten, abgeleitet von Kurven. Um dies besser zu verstehen, sehen wir uns ein Beispiel an. Wir haben ein Grundstück, das von einem 50 Meter langen Zaun eingezäunt werden soll. Der Besitzer des Grundstückes möchte mit den 50 Metern Zaun eine möglichst große Fläche einschließen. Was tun? Mit den Extremwertaufgaben ist das Ganze kein Problem. Wir sehen in der Grafik, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, mit den 50 Metern Zaun eine Fläche zu beschließen. Allerdings sehen wir auch, dass der Flächeninhalt immer unterschiedlich ist. Wir nehmen als die Flächenformel eines normalen Rechtecks: a mal b ist A und sagen, dass die Fläche ein Maximum werden soll. Mit dieser Formel allein kommen wir nicht weiter, allerdings wissen wir ja, dass maximal 50 Meter Zaun verbraucht werden darf. Als „Nebenbedingung“ stellen wir also auf: 2a + 2b = 50. Nun drücken wir z.B. a aus und erhalten a = 25 – b. Das setzen wir in die erste Formel ein und erhalten: (25 – b) Mal b ist A. Wenn wir nun ein Extremata finden wollen, müssen wir differenzieren. Erste Ableitung von (25 – b) Mal b = 25 – 2 Mal b. Da die erste Ableitung (meistens f’(x), in diesem Fall f’(b)) Null sein muss, setzen wir 25 – 2 Mal b = 0 und können nach b lösen. Ergebnis: b=12,5. (Siehe Grafik).

    Interessanterweise handelt es sich dabei um ein Quadrat. Merke: Ein Quadrat hat bei konstantem Umfang immer die größte Fläche. Natürlich können Extremwertaufgaben auch bei Körpern angewandt werden. In der Praxis werden Extremwertaufgaben eingesetzt um zu bestimmen, bei welcher Geschwindigkeit ein Auto den geringsten CO2 Ausstoß hat, etc.

    Extremwertaufgaben - Für Fortgeschrittene

    Wie Sie sicher schon bemerkt haben, gibt es unterschiedliche Möglichkeiten, Nebenbedingungen aufzustellen. So finden sich nicht selten ähnliche Dreiecke, der Satz des Pythagoras oder Hilfswinkel. Wir wollen und jetzt mit einem Hilfswinkel Beispiel beschäftigen.
    Gegeben ist ein Zelt ohne Boden, das aus einem Drehzylinder und einem aufgesetzten Drehkegel (siehe Grafik) besteht. Eine Erzeugende des Kegels hat die Länge 6, die Höhe des Zylinders beträgt 2. Berechne den Winkel, den die Erzeugende des Kegels mit der Höhe des Kegels einschließen muss, damit das Volumen des Gesamtkörpers maximal wird.

    Ich hoffe, die Angabe liest sich nicht zu schwierig. Als erster müssen wir eine „Hauptbedingung“ aufstellen. Das ist im diesen Fall das Volumen (da es ja maximal werden soll). Also: V= 1/3 r² (pi) * y + r² (pi) * 2 --> max.

    Als Nebenbedingungen müssen wir mit Hilfswinkel arbeiten. (Sollten Sie nicht wissen, wie man den Sinus und Cosinus berechnet, schauen Sie sich das lieber vorher an). sin(alpha)= r/s = r/6 --> r = 6*sin(alpha) und cos(alpha)= y/6 --> y = 6*cos(alpha).

    Zielfunktion: Wir setzen einfach die soeben gewonnenen Formeln in die Hauptbedingung ein: V = 1/3 * (6*sin(alpha))² * (pi) * 6*cos(alpha) + (6*sin(alpha))² * (pi) * 2. Nun haben Sie 2 Möglichkeiten: Entweder Sie haben einen Taschenrechner, der für Sie differenziert, oder Sie differenzieren händisch (was etwas länger dauert). Aus Platzgründen kann ich nicht den gesamten Lösungsweg anschreiben. Das Ergebnis ist cos(alpha) = 1/3, alpha= 70,52…°
    Wenn Sie die Berechnungen verstanden haben, haben Sie schon das Schwierigste gemeistert.

    Hier noch ein Beispiel zum Üben (Tipp: Stellen Sie zuerst die Hauptbedingung V=… auf und verwenden Sie als Nebenbedingung den Satz von Pythagoras): Ein gleichschenkeliges Trapez (b= 6*Wurzel(2), c =10) rotiert um die längste Parallelseite a. Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, wenn das Volumen möglichst groß sein soll.

    Das Ergebnis ist V=2421,1…

    Sollten Sie das Beispiel nicht lösen können: Ein Trapez, welches rotiert wird zu 2 Drehkegeln und einem Zylinder. Nehmen Sie die Höhe des Drehkegels mit dem Platzhalter x an und lösen Sie über x² + h² = b²